Asleep tähendab 'magama' või 'uinunud'. See on lihtne, kuid selles laulus omandab see sügavama tähenduse.
Laulusõnades väljendab laulja soovi, et ta oleks jäänud magama, et vältida ebamugavat või hirmutavat olukorda. See annab sõnale 'asleep' melanhoolse ja põgeneva varjundi, mis on laulu üldise meeleoluga kooskõlas.
The Cure'i lugu "Close To Me" ei ole sinu tavaline armastuslaul. See on hoopis närvesööv teekond ärevuse ja klaustrofoobia südamesse. Laulja kirjeldab tunnet, kuidas ta on midagi tunde oodanud, ajades end sellest ootusest nii haigeks, et soovib, et oleks parem magama jäänud. See on lugu lämmatavast tundest, kui miski, mida sa kardad, jõuab sulle ohtlikult lähedale.
Laulusõnad maalivad pildi paanikahäirest, kasutades erksaid kujundeid nagu pimeduses nägemise proovimine ja kujude liiga lähedale toomine. Peategelane on nii hirmul, et ta hoiab hinge kinni ja ootab, kuni värisema hakkab. Ta igatseb kellegi teise usku või isegi nägu, et tunda end turvaliselt, ja pole kindel, kas see kohutav kogemus – pea vastu ust – on päriselt toimuv või lihtsalt halb unenägu.